題目

Problem

Suppose that $f$ is a differentiable function on $(0,1)$ and $f$ is continuous on $[0,1]$ . Which of the following statement is false?

(a) If $f(0)f(1)<0$ , then there exists a number $c\in(0,1)$ such that $f(c)=0$ .

(b) If $f'(0.1)f'(0.9)<0$ , then there exists a number $c\in(0.1,0.9)$ such that $f'(c)=0$ .

(d) If $f''>0$ on $(0,1)$ and $f'(c)=0$ for some $c\in(0,1)$ , then $f(x)\ge f(c)$ for $x\in[0,1]$ .

(e) If $f(x)=f(1-x)$ for $x\in[0,1]$ , $f(0)>0$ , and $f(0.5)=0$ , then $f''(0.5)>0$ .

解答

逐項檢查所用定理的條件。

(a) 由連續性和介值定理可知，端點函數值異號時必有零點。
(b) 導數雖不必連續，但導數具有介值性； $f'$ 在兩點異號時，仍存在 $c$ 使 $f'(c)=0$ 。
(c) 由拉格朗日中值定理，存在 $c\in(0,1)$ 使
$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1.$
(d) $f''>0$ 表示 $f'$ 嚴格遞增。既然 $f'(c)=0$ ，則 $c$ 左側 $f'<0$ 、右側 $f'>0$ ，故 $f(c)$ 是全區間的最小值。

但 (e) 不一定成立。取

f(x)=\left(x-\frac12\right)^4.

它滿足 $f(x)=f(1-x)$ 、 $f(0)>0$ 與 $f(0.5)=0$ ，可是

f''(0.5)=0,

不是正數。

答案： (e)。