題目

Problem

For $k>0$ , let $D_k=\{(x,y):0\le x\le k\pi \text{ and } x\sin(x)\le y\le x\}$ and let $A_k$ be the area of $D_k$ . Which of the following statement is true?

(a) $A_1=2\pi+\pi^2/2$ .

(b) $A_2=4\pi+2\pi^2$ .

(d) $A_4=4\pi+8\pi^2$ .

(e) None of the above statement is true.

解答

面積是上、下曲線之差的積分：

\begin{align*} A_k =&\,\int_0^{k\pi}\bigl(x-x\sin x\bigr)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{k^2\pi^2}{2} -\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{k\pi}\\[4mm] =&\,\frac{k^2\pi^2}{2}+k\pi(-1)^k. \end{align*}

逐一代入可得

A_1=\frac{\pi^2}{2}-\pi,\qquad A_2=2\pi^2+2\pi,\qquad A_3=\frac{9\pi^2}{2}-3\pi,\qquad A_4=8\pi^2+4\pi.

只有 (d) 符合。

答案： (d)。

109 政大微積分 Part I 第 5 題

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