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109 政大微積分 Part I 第 10 題

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109學年度 · 109微積分 · 第 10 題

題目

Problem

Let f(x,y)=11+x2+y2f(x,y)=\dfrac{1}{1+x^2+y^2} for x,y∈(−∞,∞)x,y\in(-\infty,\infty) and let Da={(x,y):x2+y2≤a2}D_a=\{(x,y):x^2+y^2\le a^2\} for a>0a>0. Which of the following statement is true?

(a) ∬D1f(x,y) d(x,y)=πln⁡(2)\iint_{D_1} f(x,y)\,d(x,y)=\pi\ln(2).

(b) ∬D2f(x,y) d(x,y)=πln⁡(4)\iint_{D_2} f(x,y)\,d(x,y)=\pi\ln(4).

(c) ∬D3f(x,y) d(x,y)=πln⁡(6)\iint_{D_3} f(x,y)\,d(x,y)=\pi\ln(6).

(d) ∬D4f(x,y) d(x,y)=πln⁡(8)\iint_{D_4} f(x,y)\,d(x,y)=\pi\ln(8).

(e) None of the above statements is true.

解答

區域 DaD_a 是半徑 aa 的圓盤，最自然的作法是改用極座標：

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,dA=r dr dθ.x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

因此

∬Da11+x2+y2 dA= ∫02π∫0ar1+r2 dr dθ= 2π[12ln⁡(1+r2)]0a= πln⁡(1+a2).\begin{align*} \iint_{D_a}\frac1{1+x^2+y^2}\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^a\frac{r}{1+r^2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\pi\left[\frac12\ln(1+r^2)\right]_0^a\\[4mm] =&\,\pi\ln(1+a^2). \end{align*}

代 a=1a=1 時得到 πln⁡2\pi\ln2，正是 (a)。其餘選項的對數內常數都不符合 1+a21+a^2。

答案： (a)。