題目

Problem

Find the critical points of the function

f(x,y)=x^3-y^2-xy+1.

(a) $(0,0)$

(b) $(0,0)$ and $\left(-\frac16,\frac1{12}\right)$

(d) Does not exist.

(e) None of the above.

解答

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f_x=3x^2-y,\qquad f_y=-2y-x.

由 $f_y=0$ 得 $y=-\frac{x}{2}$ 。代入 $f_x=0$ ：

3x^2+\frac{x}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{或}\ x=-\frac16.

故臨界點為

\boxed{(0,0),\ \left(-\frac16,\frac1{12}\right)}.

答案為 $\boxed{\text{(b)}}$ 。