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108 政大微積分 第 15 題

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108學年度 · 108微積分 · 第 15 題

題目

Problem

Let f(x)=cos⁡(4x)−1−xf(x)=\cos(4x)-1-x and g(x)=e2x−1g(x)=e^{2x}-1 for x∈(−∞,∞)x\in(-\infty,\infty). Which of the following statements is true?

(a) lim⁡x→0+f(x)/g(x)\lim_{x\to 0^+}f(x)/g(x) does not exist.

(b) −∞<lim⁡x→0+f(x)/g(x)≤−2-\infty<\lim_{x\to 0^+}f(x)/g(x)\le -2.

(c) −2<lim⁡x→0+f(x)/g(x)≤−1-2<\lim_{x\to 0^+}f(x)/g(x)\le -1.

(d) −1<lim⁡x→0+f(x)/g(x)≤0-1<\lim_{x\to 0^+}f(x)/g(x)\le 0.

(e) 0<lim⁡x→0+f(x)/g(x)<∞0<\lim_{x\to 0^+}f(x)/g(x)<\infty.

解答

解法一

思路

展開
  • 用 cos⁡4x−1=−8x2+O(x4)\cos4x-1=-8x^2+O(x^4)、e2x−1=2x+O(x2)e^{2x}-1=2x+O(x^2) 比較首項。

答題過程

展開 cos⁡4x−1−xe2x−1=−x+O(x2)2x+O(x2)⟶−12.\frac{\cos4x-1-x}{e^{2x}-1} =\frac{-x+O(x^2)}{2x+O(x^2)}\longrightarrow-\frac12.

答案為 (d)\boxed{\text{(d)}}。