題目

Problem

Find the power series centered at $-2$ that is equal to

f(x)=\frac{1}{1-x}.

(a) $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{2^n}$

(b) $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{2^{n+1}}$

(d) $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{3^{n+1}}$

(e) None of the above.

解答

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\frac1{1-x}=\frac1{3-(x+2)} =\frac13\frac1{1-(x+2)/3} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+2)^n}{3^{n+1}}.

因此答案為 $\boxed{\text{(d)}}$ ，收斂於 $|x+2|<3$ 。