題目

Problem

Let

S=\{(x,y):0\le x\le y\le 1\}.

Find the maximum of

f(x,y)=x^2-\frac{7y^2}{4}+xy-\ln(1+x)

on $S$ .

解答

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偏導數為

f_x=2x+y-\frac1{1+x},\qquad f_y=x-\frac72y.

若在內部有臨界點， $f_y=0$ 給出 $y=\frac{2x}{7}$ ，這與 $x\le y$ （除 $x=0$ 外）矛盾。因此只需檢查三條邊。

邊 $x=0$ ：

f(0,y)=-\frac74y^2\le0,

等號只在 $y=0$ 成立。

邊 $y=x$ ：

h(x)=f(x,x)=\frac{x^2}{4}-\ln(1+x),qquad h'(x)=\frac{x}{2}-\frac1{1+x}\le0

對 $0\le x\le1$ 成立，故此邊最大值也是 $h(0)=0$ 。

邊 $y=1$ ：

k(x)=x^2+x-\frac74-\ln(1+x),qquad k'(x)=2x+1-\frac1{1+x}\ge0.

故此邊最大值在 $x=1$ ，為 $k(1)=\frac14-\ln2<0$ 。綜合三邊，

\boxed{\max_S f=0},

且只在 $\boxed{(x,y)=(0,0)}$ 取得。