題目

Problem

Suppose that

f(x,y)= \begin{cases} x+2y, & \text{if }2x+y\ge 0,\\ 3x+y, & \text{if }2x+y<0. \end{cases}

(a) (5 pts) Determine whether $f$ is continuous at $(1,-1)$ . Justify your answer.

(b) (5 pts) Find $f_x(0,1)$ .

S=\{(x,y):0\le x\le 1\text{ and }2\le y\le 3\}.

Find $\int_S f(x,y)\,d(x,y)$ .

(d) (5 pts) Let

S=\{(x,y):-3\le 2x+y\le 3\text{ and }-3\le x-y\le 0\}.

Find $\int_S f(x,y)\,d(x,y)$ .

解答

展開

展開

(a) 在 $(1,-1)$ ， $2x+y=1>0$ 。此不等式在該點附近仍成立，故局部上 $f(x,y)=x+2y$ ，所以 $f$ 在 $(1,-1)$ 連續。

(b) 同理， $(0,1)$ 附近有 $2x+y>0$ ，故

\boxed{f_x(0,1)=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1}.

(c) 對 $0\le x\le1$ 、 $2\le y\le3$ ，有 $2x+y>0$ ，因此

\begin{align*} \iint_Sf(x,y)\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^1\int_2^3(x+2y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac{11}{2}}. \end{align*}

(d) 令 $u=2x+y$ 、 $v=x-y$ 。解得

x=\frac{u+v}{3},\qquad y=\frac{u-2v}{3},\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac13.

當 $u\ge0$ 時 $f=x+2y=u-v$ ；當 $u<0$ 時 $f=3x+y=\frac{4u+v}{3}$ 。故

\begin{align*} \iint_Sf\,\mathrm{d}A =&\,\int_{-3}^0\int_{-3}^0\frac{4u+v}{9}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u +\int_0^3\int_{-3}^0\frac{u-v}{3}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,-\frac{15}{2}+9 =\boxed{\frac32}. \end{align*}