題目

Problem

Consider the function $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ defined by

f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}.

Note that $f$ is well defined as $x^2+1>0$ for all $x\in\mathbb{R}$ .

(a) (10 pts) Please find $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ . Show your work.

(b) (10 pts) Please find $f'(x)$ , the derivative of $f(x)$ . Show your work.

解答

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(a) 當 $x\to-\infty$ 時， $|x|=-x$ ，所以

\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{x-1}{|x|\sqrt{1+1/x^2}} =\frac{-1+1/x}{\sqrt{1+1/x^2}} \longrightarrow\boxed{-1}.

(b) 用商數法則：

\begin{align*} f'(x) =&\,\frac{\sqrt{x^2+1}-(x-1)\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{x+1}{(x^2+1)^{3/2}}}. \end{align*}

(c) 分母恆正，因此 $f'(x)$ 在 $x=-1$ 前為負、之後為正； $f$ 先遞減後遞增。

f(-1)=\frac{-2}{\sqrt2}=\boxed{-\sqrt2}.

這是全域最小值。另一方面， $\lim_{x\to\infty}f(x)=1$ ，但 $f(x)=1$ 無實數解，故沒有全域最大值。