1. 第一步：求 $f(0,0)$ 的值：
   • 將 $(x,y) = (0,0)$ 代入約束不等式： $|f(0, 0) - 1 + 0| \le \sin(0) = 0 \implies |f(0, 0) - 1| = 0 \implies f(0, 0) = 1$
2. 第二步：利用可微定義與夾擠定理求偏導數 $f_x(0,0)$ 與 $f_y(0,0)$：
   • 若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，則有逼近式： $f(x, y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \epsilon \sqrt{x^2+y^2}$ 其中當 $(x,y) \to (0,0)$ 時 $\epsilon \to 0$。
   • 將其代回原不等式，同除以 $\sqrt{x^2+y^2}$ 並取極限。
   • 因為右側 $\lim \frac{\sin(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$，這強烈逼迫左側所有方向的變化率極限必須為 0： $f_x(0,0) = 0 \quad \text{且} \quad f_y(0,0) + 2 = 0 \implies f_y(0,0) = -2$
3. 第三步：求切面方程式 (9)：
   • 公式為 $z - f(0,0) = f_x(0,0)(x-0) + f_y(0,0)(y-0)$。
   • 代入得 $z - 1 = 0x - 2y \implies z = 1 - 2y$。
4. 第四步：求等高線切線方程式 (10)：
   • 等高線為 $f(x,y) = 1$，其在 $(0,0)$ 處的切線為： $f_x(0,0)x + f_y(0,0)y = 0 \implies 0x - 2y = 0 \implies y = 0$。
5. 第五步：求最大方向導數 (11)：
   • 最大方向導數值為梯度向量的模長 $\|\nabla f(0,0)\| = \|\langle 0, -2 \rangle\| = 2$。

我們先分析在原點 $(0, 0)$ 處的函數值。將 $(x, y) = (0, 0)$ 代入給定的不等式：

因為絕對值大於等於零，故有：

接下來，我們假定 $f(x, y)$ 在點 $(0, 0)$ 處可微。根據多變數函數在原點的可微定義：

其中當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時，誤差項 $\epsilon(x, y) \to 0$。

將 $f(0, 0) = 1$ 與可微逼近式代回原不等式中：

為了求偏導數，我們將不等式兩側同除以 $\sqrt{x^2 + y^2}$：

我們取當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時的極限。首先計算右側極限：

根據夾擠定理，左側極限亦必須為 $0$：

由於當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時 $\epsilon(x, y) \to 0$，上式簡化為：

此極限必須從任何方向趨近於 $(0,0)$ 皆成立。

• 若我們沿 $x$ 軸（$y = 0$）趨近，則要求 $f_x(0, 0) = 0$。
• 若我們沿 $y$ 軸（$x = 0$）趨近，則要求 $f_y(0, 0) + 2 = 0 \implies f_y(0, 0) = -2$。

此時梯度向量為：

現在我們依序回答三個小題：

1. (9) 切面方程式： 在點 $(0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 1)$ 處的切面方程式（注意考卷上 $y=f(x,y)$ 為印刷錯誤，實為 $z=f(x,y)$）為：

   $$z - f(0, 0) = f_x(0, 0)(x - 0) + f_y(0, 0)(y - 0)$$

   代入偏導數值：

   $$z - 1 = 0(x) - 2(y) \implies z = 1 - 2y$$

   可寫為 $2y + z = 1$。

2. (10) 等高線的切線方程式： 等高線 $f(x, y) = f(0, 0) = 1$ 在點 $(0, 0)$ 處的切線方程式為：

   $$f_x(0, 0)(x - 0) + f_y(0, 0)(y - 0) = 0 \implies 0(x) - 2(y) = 0 \implies y = 0$$

   （即 $x$ 軸）。

3. (11) 最大方向導數： 方向導數 $D_{\mathbf{u}}f(0, 0)$ 的最大值發生在梯度向量方向，其值為梯度的模長：

   $$\max D_{\mathbf{u}}f(0, 0) = \|\nabla f(0, 0)\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$$

結論：

• (9) 處填入 $z = 1 - 2y$ (或 $2y + z = 1$)。
• (10) 處填入 $y = 0$。
• (11) 處填入 $2$。