1. 本題要求使用麥克勞林級數（Maclaurin Series）來將定積分寫為無窮級數之和。
2. 第一步：寫出正弦函數 $\sin u$ 的麥克勞林展開式： $\sin u = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n u^{2n+1}}{(2n+1)!}$
3. 第二步：令 $u = x^2$ 代入以求出 $\sin(x^2)$ 的展開式： $\sin(x^2) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x^2)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{(2n+1)!}$
4. 第三步：同除以 $x$ 得到被積函數的麥克勞林展開： $\frac{\sin(x^2)}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{4n+1}}{(2n+1)!}$
5. 第四步：逐項進行積分以求得定積分的級數表示： $\int_0^{1/2} \frac{\sin(x^2)}{x} \,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left[ \frac{x^{4n+2}}{4n+2} \right]_0^{1/2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+2)} \left(\frac{1}{2}\right)^{4k+2}$

我們首先利用正弦函數 $\sin u$ 的經典麥克勞林級數展開式：

我們將 $u = x^2$ 代入，求得 $\sin\left(x^2\right)$ 的級數展開：

將其除以 $x$，得到被積函數的麥克勞林展開式（適用於所有 $x \neq 0$）：

由於冪級數在其收斂半徑內可以逐項積分，我們在區間 $\left[ 0, \frac{1}{2} \right]$ 上進行逐項定積分：

結論： (8) 處應填入 $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!(4n + 2)} \left( \frac{1}{2} \right)^{4n + 2}$（或表示為 $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!(4n + 2) 2^{4n+2}}$）。