本題包含反函數求導與反函數定積分兩部分。

(1) 求解 $g'(4)$

• 根據反函數求導法則，有 $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$。
• 我們先尋找對應的 $x_0$ 使得 $f(x_0) = 4 \implies x_0^3 + 2^{x_0} + 1 = 4 \implies x_0^3 + 2^{x_0} = 3$。
• 藉由觀察法，當 $x_0 = 1$ 時， $1 + 2 = 3$ 成立。由於 $f'(x) = 3x^2 + 2^x\ln 2 > 0$ 恆正（函數為嚴格遞增），故 $x_0 = 1$ 為唯一解。
• 計算 $f'(1) = 3(1)^2 + 2^1\ln 2 = 3 + 2\ln 2$。
• 因此 $g'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3 + 2\ln 2}$。

(2) 求解 $\int_2^4 g(x)\,\mathrm{d}x$

• 利用函數與反函數的積分對稱關係： $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,\mathrm{d}y = b \cdot f(b) - a \cdot f(a)$
• 我們需要將積分界限對應：
  • 當 $x = 0 \implies f(0) = 0 + 2^0 + 1 = 2$。
  • 當 $x = 1 \implies f(1) = 4$。
  • 故代入公式： $\int_0^1 (x^3+2^x+1)\,\mathrm{d}x + \int_2^4 g(x)\,\mathrm{d}x = 1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0) = 4$
  • 計算 $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ 並移項解出反函數的積分。

給定 $f(x) = x^3 + 2^x + 1$ 且其反函數為 $g(x) = f^{-1}(x)$。

(1) 求解 $g'(4)$

根據反函數求導法則：

我們要求 $y = 4$ 時的值。令：

經觀察，當 $x = 1$ 時等式成立。 因為對於所有 $x \ge 0$，有 $f'(x) = 3x^2 + 2^x \ln 2 > 0$，函數為嚴格遞增，故該解是唯一的。

我們計算一階導數在 $x = 1$ 處的值：

因此：

(2) 求解 $\displaystyle \int_2^4 g(x) \,\mathrm{d}x$

我們使用反函數的幾何積分公式：

我們取 $a = 0$ 且 $b = 1$：

• $f(a) = f(0) = 0^3 + 2^0 + 1 = 2$
• $f(b) = f(1) = 1^3 + 2^1 + 1 = 4$

代入公式中：

我們單獨計算左側關於 $f(x)$ 的定積分：

移項求得反函數的積分值：

結論：

• (6) 處應填入 $\displaystyle \frac{1}{3 + 2\ln 2}$。
• (7) 處應填入 $\displaystyle \frac{11}{4} - \frac{1}{\ln 2}$。