1. 給定一個二次曲線（橢圓） $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$，要求其最高點（即 $y$ 座標最大的點）。
2. 在橢圓的最高點處，其切線為水平線，代表其導數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$。
3. 第一步：使用隱函數求導法求出 $y'$：
   • $10x + 2y + 2xy' + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{5x+y}{x+y}$。
4. 第二步：令 $y' = 0$ 得到 $x$ 與 $y$ 的比例關係：
   • $5x + y = 0 \implies y = -5x$。
5. 第三步：將 $y = -5x$ 代回曲線方程式求解：
   • $5x^2 + 2x(-5x) + (-5x)^2 = 16 \implies 5x^2 - 10x^2 + 25x^2 = 16 \implies 20x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{4}{5}$。
   • 因為是最高點， $y$ 座標必須最大。由於 $y = -5x$，當 $x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ 時， $y = 2\sqrt{5} > 0$ 為最大值。

我們對橢圓曲線方程 $5x^2 + 2xy + y^2 = 16$ 關於自變數 $x$ 進行隱函數求導：

我們整理得到導數項：

曲線的最高點（$y$ 座標最大處）切線必須是水平線，此時滿足 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$。 我們令分子為零：

將 $y = -5x$ 代回原曲線方程：

解得兩個臨界 $x$ 值：

我們代回 $y = -5x$ 求對應點的座標：

1. 若 $\displaystyle x = -\frac{2}{\sqrt{5}} \implies y = -5\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 2\sqrt{5}$
2. 若 $\displaystyle x = \frac{2}{\sqrt{5}} \implies y = -5\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -2\sqrt{5}$

由於我們要求的是最高點（具有最大 $y$ 座標），故選擇 $y = 2\sqrt{5}$ 的點。

結論： (4) 處應填入 $\displaystyle \left( -\frac{2}{\sqrt{5}},\, 2\sqrt{5} \right)$ （或 $\displaystyle \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5},\, 2\sqrt{5} \right)$）。