本題分為兩個部分：隱函數求導與線性逼近。

1. 第一部分：求 $\left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right|_{(1,1)}$
   • 令 $\phi(x, y) = \sqrt{3+y} x^3 - xy - 1 = 0$。
   • 計算偏導數：
     • $\phi_x = 3x^2 \sqrt{3+y} - y$。在 $(1,1)$ 處為 $3(1)(2) - 1 = 5$。
     • $\phi_y = \frac{x^3}{2\sqrt{3+y}} - x$。在 $(1,1)$ 處為 $\frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$。
   • 利用隱函數偏導公式： $\left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right|_{(1,1)} = -\frac{\phi_y(1,1)}{\phi_x(1,1)} = -\frac{-3/4}{5} = \frac{3}{20}$
2. 第二部分：線性逼近實數根
   • 欲求 $\sqrt{4.1} x^3 - 1.1x - 1 = 0$ 的實根。
   • 觀察此方程形式，這恰好是隱函數方程 $\phi(x_0, y_0) = 0$ 當 $y_0 = 1.1$ 時的值！（因 $3+y_0 = 4.1 \implies y_0 = 1.1$）。
   • 我們需要在點 $(1,1)$ 處對隱函數關係 $x(y)$ 進行一階線性逼近： $x(y) \approx x(1) + \left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right|_{(1,1)} (y - 1)$
   • 代入 $y = 1.1$： $x(1.1) \approx 1 + \frac{3}{20}(1.1 - 1) = 1 + \frac{3}{20}(0.1) = 1 + 0.015 = 1.015$

我們先定義二元函數：

(1) 求解 $\left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right|_{(1,1)}$

我們利用隱函數的偏導數公式：

我們對 $\phi$ 分別關於 $x$ 與 $y$ 求偏導：

• $\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial x} = 3x^2 \sqrt{3+y} - y$
• $\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^3}{2\sqrt{3+y}} - x$

代入點 $(x, y) = (1, 1)$：

• $\displaystyle \left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \right|_{(1,1)} = 3(1)^2 \sqrt{3+1} - 1 = 3(2) - 1 = 5$
• $\displaystyle \left. \frac{\partial \phi}{\partial y} \right|_{(1,1)} = \frac{1^3}{2\sqrt{3+1}} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

因此：

(2) 求解 $\sqrt{4.1} x^3 - 1.1x - 1 = 0$ 的線性逼近根

我們注意到，方程式 $\sqrt{4.1} x^3 - 1.1x - 1 = 0$ 相當於在隱函數 $\phi(x, y) = 0$ 中，將 $y$ 設為 $1.1$。 我們可以使用函數 $x(y)$ 在 $y = 1$ 處的一階泰勒展開（線性逼近）：

已知：

• $x(1) = 1$
• $x'(1) = \left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right|_{(1,1)} = \frac{3}{20}$
• 當前 $y = 1.1 \implies y - 1 = 0.1$

代入線性逼近公式：

結論：

• (2) 處填入 $\displaystyle \frac{3}{20}$ (或 $0.15$)。
• (3) 處填入 $1.015$。