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112 台灣大學微積分(C) 第 1 題

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112學年度 · 112台大微積分C · 第 1 題

題目

Problem

  1. Suppose that f(x)f(x) is differentiable at x=1x = 1. Evaluate the following limit in terms of f(1)f(1) and f′(1)f'(1).
lim⁡a→0f(e2a)−f(1)log⁡2(1−3a)=(1)‾ .\lim_{a \to 0} \frac{\sqrt{f(e^{2a})} - \sqrt{f(1)}}{\log_2(1 - 3a)} = \underline{\quad (1) \quad} \,.

解答

解法一

思路

展開
  1. 本題給出 f(x)f(x) 在 x=1x=1 處可微，求包含 ff 的極限式。
  2. 當 a→0a \to 0 時，分子為 f(1)−f(1)=0\sqrt{f(1)} - \sqrt{f(1)} = 0，分母為 log⁡2(1)=0\log_2(1) = 0，此為 00\frac{0}{0} 型未定式。
  3. 第一步：使用羅必達法則對自變數 aa 求導：
    • 分子求導： dda(f(e2a))=12f(e2a)⋅f′(e2a)⋅2e2a=f′(e2a)e2af(e2a)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \sqrt{f(e^{2a})} \right) = \frac{1}{2\sqrt{f(e^{2a})}} \cdot f'(e^{2a}) \cdot 2e^{2a} = \frac{f'(e^{2a}) e^{2a}}{\sqrt{f(e^{2a})}}
    • 分母求導： dda(log⁡2(1−3a))=1(1−3a)ln⁡2⋅(−3)=−3(1−3a)ln⁡2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right) = \frac{1}{(1-3a)\ln 2} \cdot (-3) = -\frac{3}{(1-3a)\ln 2}
  4. 第二步：取 a→0a \to 0 的極限： lim⁡a→0f′(e2a)e2af(e2a)−3(1−3a)ln⁡2=f′(1)f(1)−3ln⁡2=−ln⁡2⋅f′(1)3f(1)\lim_{a\to 0} \frac{ \frac{f'(e^{2a}) e^{2a}}{\sqrt{f(e^{2a})}} }{ -\frac{3}{(1-3a)\ln 2} } = \frac{ \frac{f'(1)}{\sqrt{f(1)}} }{ -\frac{3}{\ln 2} } = -\frac{\ln 2 \cdot f'(1)}{3\sqrt{f(1)}}

答題過程

展開

此極限在 a→0a \to 0 代入時為 00\frac{0}{0} 型。我們使用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule），對分子與分母分別關於自變數 aa 進行求導：

lim⁡a→0f(e2a)−f(1)log⁡2(1−3a)=L.H.lim⁡a→0dda(f(e2a))dda(log⁡2(1−3a))\lim_{a \to 0} \frac{\sqrt{f(e^{2a})} - \sqrt{f(1)}}{\log_2(1 - 3a)} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{a \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \sqrt{f(e^{2a})} \right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right)}

我們分別計算導函數：

  • 分子部分（使用連鎖律，注意對 e2ae^{2a} 求導得 2e2a2e^{2a}）： dda(f(e2a))=12f(e2a)⋅f′(e2a)⋅2e2a=f′(e2a)e2af(e2a)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \sqrt{f(e^{2a})} \right) = \frac{1}{2\sqrt{f(e^{2a})}} \cdot f'(e^{2a}) \cdot 2e^{2a} = \frac{f'(e^{2a}) e^{2a}}{\sqrt{f(e^{2a})}}
* **分母部分**（利用對數換底公式 $\log_2 u = \frac{\ln u}{\ln 2}$，注意對 $1-3a$ 求導得 $-3$）：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right) = \frac{1}{(1 - 3a) \ln 2} \cdot (-3) = -\frac{3}{(1 - 3a) \ln 2}

將導函數結果代回極限式中： 將導函數結果代回極限式中：

\lim_{a \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \sqrt{f(e^{2a})} \right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right)} = \lim_{a \to 0} \frac{\frac{f’(e^{2a}) e^{2a}}{\sqrt{f(e^{2a})}}}{-\frac{3}{(1 - 3a) \ln 2}}

由於 $f(x)$ 在 $x = 1$ 處連續且可微，代入 $a = 0$ 求解極限值：

\frac{\frac{f’(e^0) e^0}{\sqrt{f(e^0)}}}{\frac{-3}{(1 - 0) \ln 2}} = \frac{\frac{f’(1)}{\sqrt{f(1)}}}{-\frac{3}{\ln 2}} = -\frac{\ln 2 \cdot f’(1)}{3\sqrt{f(1)}}

**結論：** (1) 處應填入 $-\displaystyle \frac{\ln 2 \cdot f'(1)}{3\sqrt{f(1)}}$。 </details>