1. 給定一個變限積分方程，我們需要解出裡面的未知函數 $f(x)$。
2. 根據微積分基本定理（萊布尼茲法則），對等式兩側關於 $x$ 求導：
   • 左邊求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \int_{\sqrt{x}}^4 \frac{f(t^2)}{\ln t} \,\mathrm{d}t \right] = 0 - \frac{f\left( (\sqrt{x})^2 \right)}{\ln\sqrt{x}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x}) = -\frac{f(x)}{\frac{1}{2}\ln x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{f(x)}{\sqrt{x}\ln x}$
   • 右邊求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ e^{(x-16)^2} - \frac{x}{16} \right] = e^{(x-16)^2} \cdot 2(x-16) - \frac{1}{16}$
3. 聯立兩側導函數並解出 $f(x)$： $-\frac{f(x)}{\sqrt{x}\ln x} = 2(x-16)e^{(x-16)^2} - \frac{1}{16} \implies f(x) = -\sqrt{x}\ln x \left( 2(x-16)e^{(x-16)^2} - \frac{1}{16} \right)$

我們對方程兩側關於自變數 $x$ 進行求導。 首先，對左側的變限積分式使用微積分基本定理與連鎖律：

我們簡化各個代數項（在 $x > 1$ 的條件下）：

• $(\sqrt{x})^2 = x$
• $\ln\left(\sqrt{x}\right) = \ln\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2}\ln x$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

代回得左側導數：

接著，我們對等式右側關於 $x$ 求導：

令左右兩側求導結果相等：

我們將 $-\sqrt{x}\ln x$ 移項至右側，解得函數 $f(x)$：

結論： (5) 處應填入 $-\sqrt{x}\ln x \left( 2(x-16)e^{(x-16)^2} - \frac{1}{16} \right)$。