1. 定義與化簡函數：
   • $g(x) = \frac{\ln(x^3)}{\sqrt{x}} = \frac{3\ln x}{\sqrt{x}} = 3x^{-1/2}\ln x$。定義域為 $x > 0$。
2. 第一步：求一階導函數 $g'(x)$：
   • 使用乘積法則或商法則： $g'(x) = 3\left( -\frac{1}{2}x^{-3/2}\ln x + x^{-1/2} \cdot \frac{1}{x} \right) = 3\left( -\frac{\ln x}{2x^{3/2}} + \frac{1}{x^{3/2}} \right) = \frac{6 - 3\ln x}{2x^{3/2}}$
3. 第二步：求二階導函數 $g''(x)$：
   • 對 $g'(x) = \frac{6-3\ln x}{2} x^{-3/2}$ 再次求導： $g''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \frac{6 - 3\ln x}{2x^{3/2}} \right] = \frac{-3x^{-1} \cdot 2x^{3/2} - (6 - 3\ln x) \cdot 3x^{1/2}}{4x^3} = \frac{3(3\ln x - 8)}{4x^{5/2}}$
4. 第三步：尋找反曲點：
   • 令 $g''(x) = 0 \implies 3\ln x - 8 = 0 \implies \ln x = \frac{8}{3} \implies x = e^{8/3}$。
   • 由於 $g''(x)$ 在 $x = e^{8/3}$ 兩側發生正負號變號，故此處為反曲點。

首先，我們利用對數性質簡化函數 $g(x)$。對於定義域 $x > 0$：

我們使用商求導法則（Quotient Rule）求一階導函數：

接下來，我們求二階導函數：

我們令 $g''(x) = 0$ 以尋找潛在的反曲點（Inflection Point）：

我們分析二階導數的符號變化：

• 當 $0 < x < e^{8/3}$ 時， $\ln x < \frac{8}{3} \implies g''(x) < 0$ （函數呈凹向下 $\cap$）。
• 當 $x > e^{8/3}$ 時， $\ln x > \frac{8}{3} \implies g''(x) > 0$ （函數呈凹向上 $\cup$）。

因為二階導數在 $x = e^{8/3}$ 的兩側發生變號，所以該點確實為反曲點。

結論： (4) 處應填入 $e^{8/3}$。