1. 給定隱函數曲線 $x - \sqrt{xy} + y = 3$，要求在點 $(4, 1)$ 處的切線方程式。
2. 第一步：使用隱函數求導法求出一階導數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$：
   • 對等式兩側關於 $x$ 求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( x - (xy)^{1/2} + y \right) = 1 - \frac{1}{2}(xy)^{-1/2} \left( y + x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$
3. 第二步：代入點 $(4, 1)$ 分析切線斜率 $m$：
   • 此時 $x = 4, y = 1 \implies \sqrt{xy} = 2$。
   • 代入求導方程式： $1 - \frac{1}{4}\left( 1 + 4 y' \right) + y' = 0$ $1 - \frac{1}{4} - y' + y' = 0 \implies \frac{3}{4} = 0 \implies \text{矛盾！}$
   • 為什麼會出現矛盾？因為斜率分母為 0。 我們重新整理含有 $y'$ 的項： $y' \left( 1 - \frac{x}{2\sqrt{xy}} \right) = \frac{y}{2\sqrt{xy}} - 1$ 代入 $x=4, y=1, \sqrt{xy}=2$： $y' \left( 1 - \frac{4}{4} \right) = \frac{1}{4} - 1 \implies y'(0) = -\frac{3}{4}$
   • 由於 $y'$ 的係數為 $0$，而等式右側非零，這表示在此點 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 趨向於無窮大（$\pm\infty$）。
4. 第三步：確定切線形式：
   • 當斜率為無窮大時，切線是一條垂直線。
   • 穿過點 $(4, 1)$ 的垂直線方程式為 $x = 4$。

我們對曲線方程 $x - \sqrt{xy} + y = 3$ 的兩側關於 $x$ 進行隱函數求導：

我們將其展開以分離出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 項：

兩側同乘以 $2\sqrt{xy}$：

因此一階導數為：

現在，我們求切線在點 $(4, 1)$ 處的斜率。將 $x = 4, \ y = 1$ 代回上式：

• 分子為： $1 - 2\sqrt{4 \cdot 1} = 1 - 4 = -3$
• 分母為： $2\sqrt{4 \cdot 1} - 4 = 4 - 4 = 0$

由於分母為 $0$ 且分子不為 $0$，該點的一階導數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 不存在（趨向於無窮大 $\pm\infty$）。這表明曲線在點 $(4, 1)$ 處具有一條垂直切線 (Vertical Tangent Line)。

一條通過點 $(4, 1)$ 且斜率為無窮大的垂直線，其方程式為：

結論： (2) 處應填入 $x = 4$。