1. 給定一階微分方程 $x y' = 3x^2 - 2y$ 且 $y(1)=2$。
2. 第一步：整理為標準一階線性微分方程形式 $y' + P(x)y = Q(x)$：
   • 同除以 $x$： $y' + \frac{2}{x}y = 3x$
   • 此處 $P(x) = \frac{2}{x}$， $Q(x) = 3x$。
3. 第二步：求積分因子 $I(x)$：
   • $I(x) = e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x} = e^{\int \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x} = e^{2\ln|x|} = x^2$（因 $x=1$ 附近可設 $x>0$）。
4. 第三步：兩側同乘積分因子並積分：
   • $x^2 \left( y' + \frac{2}{x}y \right) = 3x \cdot x^2 \implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( x^2 y \right) = 3x^3$。
   • 兩側積分： $x^2 y = \int 3x^3 \,\mathrm{d}x = \frac{3}{4}x^4 + C$。
   • 通解為： $y = \frac{3}{4}x^2 + \frac{C}{x^2}$。
5. 第四步：利用初值條件 $y(1)=2$ 求解常數 $C$。

我們首先將給定的一階微分方程移項並除以 $x$（在 $x = 1$ 的鄰域，可設 $x > 0$），整理為標準一階線性形式：

求此線性微分方程的積分因子（Integrating Factor） $I(x)$：

我們將原方程式兩側同乘以積分因子 $x^2$：

觀察左側，這正好是乘積求導的展開式：

對兩側關於 $x$ 進行積分：

兩側同除以 $x^2$ 得到通解：

最後，我們帶入初值條件 $y(1) = 2$ 以求解常數 $C$：

將 $C = \frac{5}{4}$ 代回通解，求得特解：

結論： (10) 處應填入 $\displaystyle \frac{3}{4}x^2 + \frac{5}{4x^2}$（或寫成有理分式 $\displaystyle \frac{3x^4 + 5}{4x^2}$）。