1. 寫出函數解析式並求一階導數，藉以尋找臨界點、單調區間（增減）以及局部極值。
2. 求二階導數，藉以判定凹凸區間以及反曲點（Inflection points）。
3. 注意 $x=0$ 處一階與二階導數皆不存在，此點為尖點（Cusp）。
4. 繪製草圖。

設 $f(x) = (x-4)x^{2/3} = x^{5/3} - 4x^{2/3}$。

一、一階導數與單調區間、極值

• 臨界點：

  • $f'(x) = 0 \implies 5x-8 = 0 \implies x = \frac{8}{5}$。
  • $f'(x)$ 不存在 $\implies x = 0$。

• 單調區間判定表：

  區間	$(-\infty, 0)$	$0$	$(0, 8/5)$	$8/5$	$(8/5, \infty)$
  $f'(x)$ 的符號	$+$	不存在	$-$	$0$	$+$
  $f(x)$ 的單調性	遞增 $\nearrow$	局部極大	遞減 $\searrow$	局部極小	遞增 $\nearrow$

• 結論 (a) & (c)：

  • 遞增區間： $(-\infty, 0) \cup \left(\frac{8}{5}, \infty\right)$。
  • 遞減區間： $\left(0, \frac{8}{5}\right)$。
  • 局部極大值： $f(0) = 0$。
  • 局部極小值： $\displaystyle f\left(\frac{8}{5}\right) = \left(\frac{8}{5}-4\right)\left(\frac{8}{5}\right)^{2/3} = -\frac{12}{5}\left(\frac{64}{25}\right)^{1/3} = -\frac{48}{5 \cdot 5^{2/3}}$。

二、二階導數與凹凸性、反曲點

對 $f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{8}{3}x^{-1/3}$ 再次求導：

• 反曲候選點：

  • $f''(x) = 0 \implies 5x+4 = 0 \implies x = -\frac{4}{5}$。
  • $f''(x)$ 不存在 $\implies x = 0$。

• 凹凸性判定表：

  區間	$(-\infty, -4/5)$	$-4/5$	$(-4/5, 0)$	$0$	$(0, \infty)$
  $f''(x)$ 的符號	$-$	$0$	$+$	不存在	$+$
  $f(x)$ 的凹凸性	凹向下 $\cap$	反曲點	凹向上 $\cup$	尖點	凹向上 $\cup$

  （注意： $x=0$ 兩側的二階導數皆為正，凹向並未改變，故 $x=0$ 不是反曲點）

• 結論 (b)：

  • 凹向下區間： $(-\infty, -\frac{4}{5})$。
  • 凹向上區間： $\left(-\frac{4}{5}, 0\right) \cup (0, \infty)$。
  • 反曲點： $\displaystyle \left(-\frac{4}{5}, f\left(-\frac{4}{5}\right)\right) = \left(-\frac{4}{5}, -\frac{24}{5}\left(\frac{16}{25}\right)^{1/3}\right)$。

三、曲線草圖繪製

• 漸近線：無水平、垂直或斜漸近線（當 $x \to \pm\infty$ 時， $f(x) \to \pm\infty$）。
• 軸交點：與 $y$ 軸交於 $(0,0)$；與 $x$ 軸交於 $(0,0)$ 和 $(4,0)$。
• 在原點 $(0,0)$ 處，由於 $\lim_{x\to 0^-} f'(x) = +\infty$，且 $\lim_{x\to 0^+} f'(x) = -\infty$，故圖形在此處具有垂直切線尖角（Cusp）。

           y
           |         / f(x) = (x-4)x^(2/3)
           |        /
       (0,0)*      /
-----------|------*---------> x
          /|     (4,0)
         / |    /
        /  |   /
       /   |  /
      /    | /
     /     |* (8/5, -48/(5*5^(2/3)))
    /