題目

Problem

8. Let $f(x) = e^{x^3} + e^{-x^3}$ . (10%)

Find the Taylor Series of $f(x)$ at $x=0$ . $\underline{\quad (15) \quad}$

Use the Taylor Series to find the value of $f^{(2022)}(0)$ . $\underline{\quad (16) \quad}$

解答

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利用已知之基本指數函數麥克勞林級數： $e^u = \sum_{k=0}^\infty \frac{u^k}{k!}, \quad u \in \mathbb{R}$
將 $u = x^3$ 與 $u = -x^3$ 代入展開後相加。
消去所有奇數項，只保留偶數項 $k = 2n$ 。

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寫出 $e^{x^3}$ 與 $e^{-x^3}$ 的展開式：

e^{x^3} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x^3)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{3k}}{k!}

e^{-x^3} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x^3)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{3k}}{k!}

相加後：

f(x) = e^{x^3} + e^{-x^3} = \sum_{k=0}^\infty \left( 1 + (-1)^k \right) \frac{x^{3k}}{k!}

當 $k$ 為奇數時， $1 + (-1)^k = 0$ ；當 $k$ 為偶數（令 $k = 2n$ ）時， $1 + (-1)^k = 2$ 。故上式整理為：

f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(2n)!} x^{6n}, \quad x \in \mathbb{R}

故 (15) 處應填入 $\displaystyle\boxed{\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(2n)!} x^{6n}}$ 。

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泰勒級數展開之通用定義為：

f(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{f^{(m)}(0)}{m!} x^m

在我們的泰勒級數 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(2n)!} x^{6n}$ 中，要求 $x^{2022}$ 項的係數。令 $6n = 2022 \implies n = 337$ 。此時 $x^{2022}$ 項的係數為：

\frac{2}{(2 \cdot 337)!} = \frac{2}{674!}

由此可得係數等式：

\frac{f^{(2022)}(0)}{2022!} = \frac{2}{674!} \implies f^{(2022)}(0) = \frac{2(2022!)}{674!}

故 (16) 處應填入 $\displaystyle\boxed{\frac{2(2022!)}{674!}}$ 。