1. 將被積函數拆為三部分分別積分。
2. 利用分部積分法求得 $\int \tan^{-1}x\,\mathrm{d}x = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$。
3. 整理合併，常數項 $C$ 不可遺漏。

分項積分：

• 第一項：

  $$\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln|x|$$

• 第二項（令 $u = \tan^{-1}x, \mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x, v = x$）：

  $$\int \tan^{-1}x\,\mathrm{d}x = x\tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$$

• 第三項：

  $$\int -\frac{\pi}{2}\,\mathrm{d}x = -\frac{\pi}{2}x$$

合併所有結果並整理，引入積分常數 $C$：

整理可得：

1. 利用 (a) 求出的不定積分上限取極限： $I_{\infty} = \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{1}{2}\ln\left( \frac{x^2}{1+x^2} \right) + x\left( \tan^{-1}x - \frac{\pi}{2} \right) \right]_1^b$
2. 當 $b\to\infty$ 時，第一項趨近於 $\frac{1}{2}\ln(1) = 0$。
3. 對於第二項，利用羅必達法則求解未定式極限 $\lim_{b\to\infty} b\left( \tan^{-1}b - \frac{\pi}{2} \right) = -1$。
4. 減去下限 $x=1$ 的值，得出最終積分結果。

根據反常積分定義：

1. 計算上限 $b \to \infty$ 的極限值：

• 第一部分：

  $$\lim_{b\to\infty} \frac{1}{2}\ln\left( \frac{b^2}{1+b^2} \right) = \frac{1}{2}\ln(1) = 0$$

• 第二部分（$\infty \cdot 0$ 型，轉為分數後以羅必達法則求解）：

  $$\lim_{b\to\infty} b\left( \tan^{-1}b - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{b\to\infty} \frac{\tan^{-1}b - \frac{\pi}{2}}{\frac{1}{b}} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{b\to\infty} \frac{\frac{1}{1+b^2}}{-\frac{1}{b^2}} = \lim_{b\to\infty} -\frac{b^2}{1+b^2} = -1$$

故上限之極限值為 $0 - 1 = -1$。

2. 計算下限 $x=1$ 的值：

3. 計算差值：

因此，該反常積分收斂，其值為 $\displaystyle\boxed{\frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4} - 1}$。