1. 繞 $x$ 軸旋轉之體積使用墊圈法（Washer method）： $V = \int_1^2 \pi \left[ (y_{\text{upper}})^2 - (y_{\text{lower}})^2 \right] \mathrm{d}x = \pi \int_1^2 \left[ x - (\ln x)^2 \right] \mathrm{d}x$
2. 分開積分，並用分部積分法求得 $\int (\ln x)^2\,\mathrm{d}x$。

使用墊圈法：

計算第一部分：

計算第二部分（使用分部積分）： 令 $u = (\ln x)^2, \mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies \mathrm{d}u = \frac{2\ln x}{x}\,\mathrm{d}x, v = x$：

帶入積分限 $[1, 2]$：

合併結果：

故 (9) 處應填入 $\displaystyle\boxed{\pi \left[ \frac{3}{2} - 2(\ln 2 - 1)^2 \right]}$。

1. 繞平行 $y$ 軸的直線 $x=4$ 旋轉，採用圓柱殼法（Cylindrical shells method）最為便利： $V = \int_1^2 2\pi r(x) h(x)\,\mathrm{d}x$ 這裡半徑為 $r(x) = 4-x$，高度為 $h(x) = \sqrt{x} - \ln x$。
2. 展開被積函數並分項積分。
3. $\int (4-x)\ln x\,\mathrm{d}x$ 使用分部積分法求解。

使用圓柱殼法：

我們將其分為三部分積分：

1. 第一項：

   $$\int_1^2 4x^{1/2}\,\mathrm{d}x = 4 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^2 = \frac{8}{3}(2\sqrt{2}-1) = \frac{16\sqrt{2}}{3} - \frac{8}{3}$$

2. 第二項：

   $$\int_1^2 x^{3/2}\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_1^2 = \frac{2}{5}(4\sqrt{2}-1) = \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{2}{5}$$

3. 第三項（使用分部積分）： 求不定積分 $\int (4-x)\ln x\,\mathrm{d}x$。令 $u = \ln x, \mathrm{d}v = (4-x)\,\mathrm{d}x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x, v = 4x - \frac{x^2}{2}$：

   $$\int (4-x)\ln x\,\mathrm{d}x = \left( 4x - \frac{x^2}{2} \right)\ln x - \int \left(4 - \frac{x}{2}\right) \mathrm{d}x = \left( 4x - \frac{x^2}{2} \right)\ln x - \left( 4x - \frac{x^2}{4} \right)$$

   代入積分限 $[1, 2]$：

   $$\int_1^2 (4-x)\ln x\,\mathrm{d}x = \left[ (8-2)\ln 2 - (8-1) \right] - \left[ 0 - (4-1/4) \right] = (6\ln 2 - 7) + \frac{15}{4} = 6\ln 2 - \frac{13}{4}$$

合併全部積分結果：

故 (10) 處應填入 $\displaystyle\boxed{\frac{\pi}{30} \left[ 59 + 224\sqrt{2} - 360\ln 2 \right]}$。