1. 曲線方程式中含分數次方 $\sqrt[3]{y}$，為簡化求導計算，令 $u = y^{1/3} \implies y = u^3$。
2. 曲線轉化為笛卡爾葉形線形式： $x^3 + u^3 = 9xu$。
3. 已知點為 $(x,y) = (4,8) \implies (x,u) = (4,2)$。
4. 使用隱函數微分求 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，再由連鎖律得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3u^2 \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。
5. 利用點斜式求出切線方程。

令 $u = y^{1/3} \implies y = u^3$，原方程式寫為：

此時已知點對應 $(x, u) = (4, 2)$。

對方程式關於 $x$ 隱微分：

將 $(x, u) = (4, 2)$ 代入：

由連鎖律：

代入 $u=2, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{5}{4}$：

切線斜率為 $15$，通過點 $(4,8)$：

故 (5) 處應填入 $\displaystyle\boxed{y = 15x - 52}$。

1. 對 $y' = 3u^2 u'$ 再次求導： $y'' = 6u(u')^2 + 3u^2 u''$
2. 我們需要求出 $u'' = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}x^2}$。
3. 對 $u' = \frac{3u-x^2}{u^2-3x}$ 使用商法則求導，並代入已知數值： $x=4, u=2, u'=5/4$。
4. 計算出 $u''$ 後代回 $y''$ 公式。

由一階導數公式：

再次對 $x$ 求導：

現在求 $\dfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}x^2}$。已知：

使用商法則求導：

將 $x=4, u=2, \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{5}{4}$ 代入上式：

• 分子：

  $$\left[ 3\left(\frac{5}{4}\right) - 8 \right](4-12) - (6-16)\left[ 2(2)\left(\frac{5}{4}\right) - 3 \right] = \left( -\frac{17}{4} \right)(-8) + 20 = 34 + 20 = 54$$

• 分母：

  $$(4-12)^2 = 64$$

故：

代回 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ 公式：

故 (6) 處應填入 $\displaystyle\boxed{\frac{231}{8}}$。