1. 目標函數：設點 $(x,y,z)$ 到原點距離的平方為目標函數： $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$
2. 約束條件：表面方程式為約束條件： $g(x, y, z) = y^2 - xz - 16 = 0$
3. 拉格朗日乘子法：建立方程組 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 與 $g=0$。
4. 解方程組，找出所有臨界點，並比較距離平方值以確定最接近原點的點。

設目標函數為 $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$，約束條件為 $g(x,y,z) = y^2 - xz - 16 = 0$。 由拉格朗日乘子法：

分量列出方程組：

1. $2x = -\lambda z$
2. $2y = 2\lambda y \implies 2y(1 - \lambda) = 0$
3. $2z = -\lambda x$
4. $y^2 - xz - 16 = 0$

由方程式 (2) 可知，必有兩種情況： $\lambda = 1$ 或 $y = 0$。

情況一： $\lambda = 1$

代入方程 (1) 與 (3) 中：

同時滿足 $2x = -z \implies 8z = -z \implies 9z = 0 \implies z = 0$。 代回得 $x = 0$。 將 $x = 0, z = 0$ 代入約束條件 (4)：

此時我們得到兩個臨界點：

其距離平方為 $f(0, \pm 4, 0) = 0 + 16 + 0 = 16$。

情況二： $y = 0$

代入約束條件 (4)：

（這表示 $x \neq 0$ 且 $z \neq 0$） 由方程 (1) 和 (3)，因為 $x, z \neq 0$，我們可以求出 $\lambda$：

結合 $xz = -16$： 由於 $x^2 = z^2$ 且其乘積為負數，兩者必互為相反數，即 $z = -x$：

• 當 $x = 4 \implies z = -4$。
• 當 $x = -4 \implies z = 4$。

此時我們得到另外兩個臨界點：

其距離平方為 $f(\pm 4, 0, \mp 4) = 16 + 0 + 16 = 32$。

比較距離：

由於距離平方 $16 < 32$，所以距離最短的點為 $(0, 4, 0)$ 和 $(0, -4, 0)$。

故最接近原點的點為 $\boxed{(0, \pm 4, 0)}$。