1. 當 $x \to 0$ 時，此極限為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
2. 使用泰勒級數（麥克勞林級數）展開分子與分母，是求此類極限最快、最不易出錯的方式。
3. 分子展開： $\ln(1-u) = -u - \frac{u^2}{2} - \dots \implies \ln(1-3x^2) = -3x^2 - \frac{9}{2}x^4 - \dots$。
4. 分母展開：展開 $e^{-x}$ 與 $\cos x$，消去常數與一次項，保留到 $x^2$ 以及 $x^3$ 項。
5. 比較分子與分母的最低次項係數即可。

原極限在 $x \to 0$ 時為 $\frac{0}{0}$ 型。 考慮分子與分母的麥克勞林展開：

• 分子：

  $$\ln(1-3x^2) = -3x^2 - \frac{9}{2}x^4 + O(x^6)$$

• 分母：

  $$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$$

  代入分母式：

  $$e^{-x} + x - \cos x = \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4) \right) + x - \left( 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) = x^2 - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$

代回原極限式：

分子分母同除以 $x^2$：

1. 對於 $\lim_{x\to\infty} g(x)$，首先必須考慮函數的定義域（Domain）。
2. 分子中有對數項 $\ln(1-3x^2)$，必須滿足真數大於零： $1-3x^2 > 0$。
3. 這限制了 $x$ 只能在區間 $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 內變動。
4. 當 $x \to \infty$ 時，自變數已遠遠超出定義域範圍，故極限不存在。

考慮函數 $f(x) = \dfrac{\ln(1-3x^2)}{e^{-x}+x-\cos x}$ 的定義域： 對數函數的真數必須為正，即：

由於函數只在有限區間 $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 上有定義，當 $x \to \infty$ 時，自變數超出定義域，函數無定義。

因此，

故 (2) 處應填入 $\boxed{\text{不存在}}$（或 $\boxed{\text{無意義}}$）。