1. 寫出參數曲線在任意參數 $t$ 處的切線斜率 $m_T$： $m_T = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$
2. 求出法線斜率 $m_N = -\frac{1}{m_T}$。
3. 利用法線通過點 $P(2p^2+1, 4p)$ 及已知點 $(31, -24)$ 建立斜率方程式。
4. 求解所得之三次代數方程，並找出最大的實數解 $p$。

首先求切線斜率：

在點 $P$（即 $t=p$ 處），切線斜率為 $\displaystyle m_T = \frac{1}{p}$，故法線斜率為：

法線通過點 $P(2p^2+1, 4p)$ 與 $(31, -24)$，其兩點構成之斜率式為：

令兩斜率相等建立方程式：

觀察易知 $p=1$ 為其一實根。使用多項式除法因式分解：

解得實根 $p = 1, 3, -4$。 題目要求最大的 $p$ 值，故最大值為 $p=\boxed{3}$。