1. 我們需要檢驗 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等於 $f(0,0) = 0$。
2. 藉由分子分母同除以 $y^2$，把原式拆解成與已知極限 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$ 相關的項。
3. 利用夾擠定理證明剩餘部分的極限為 $0$，即可判定連續性。

我們需要檢驗 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等於 $f(0,0) = 0$。

將極限式改寫：

我們知道：

對於第一項，利用不等式恆等式：

（因為對任意 $(x,y) \neq (0,0)$，皆有 $\frac{y^2}{x^2+y^2} \le 1$）

由於 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| = 0$，根據夾擠定理：

因此，

故 $f$ 在 $(0,0)$ 處是連續的。

1. 依據方向導數的定義（注意此處 $f$ 在原點並不一定可微，必須使用定義式計算）： $D_{\mathbf{u}}f(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(ha, hb) - f(0, 0)}{h}$
2. 將 $x=ha, y=hb$ 代入 $f$ 進行極限化簡，並結合單位方向向量約束 $a^2+b^2=1$。

依據方向導數的定義：

其中 $\mathbf{u} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$ 為單位向量，即 $a^2+b^2=1$。

將 $x = ha, y = hb$ 代入 $f$ 中：

• 若 $a = 0$ （即方向為垂直 $y$ 軸， $\mathbf{u} = \pm \mathbf{j}$）：

  $$D_{\mathbf{u}}f(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0, \pm h) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$$

  此時 $a b^2 = 0 \cdot b^2 = 0$，依然符合公式。

• 若 $a \neq 0$：

  $$D_{\mathbf{u}}f(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left( \frac{ha\sin(h^2b^2)}{h^2a^2 + h^2b^2} - 0 \right) = \lim_{h\to 0} \frac{a\sin(h^2b^2)}{h^2(a^2+b^2)}$$

  因為 $\mathbf{u}$ 為單位向量， $a^2+b^2=1$：

  $$= a \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h^2b^2)}{h^2} = a \lim_{h\to 0} \left( \frac{\sin(h^2b^2)}{h^2b^2} \cdot b^2 \right) = ab^2 \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h^2b^2)}{h^2b^2}$$

  由於 $\displaystyle\lim_{h\to 0} h^2 b^2 = 0$，故 $\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h^2b^2)}{h^2b^2} = 1$。 所以：

  $$D_{\mathbf{u}}f(0,0) = \boxed{ab^2}$$

綜合以上，對任意單位方向向量 $\mathbf{u} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$，其方向導數為 $\boxed{ab^2}$。

1. 題意「changes the most rapidly」意指方向導數的絕對值最大（包括最大增加率與最大減少率）。
2. 我們需要最大化（或最小化） $ab^2$，約束條件為 $a^2+b^2=1$。
3. 利用單變數求導或拉格朗日乘子法求解，並列出所有對應方向。

我們欲求使 $|ab^2|$ 最大的單位方向向量 $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$（滿足 $a^2+b^2=1$）。 由約束條件知 $b^2 = 1 - a^2$，代入目標函數得：

對其求導尋找極值點：

此時 $b^2 = 1 - a^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies b = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$。

• 變化最快（增加）的方向：當 $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 且 $b = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ 時，方向導數為正的最大值：

  $$D_{\mathbf{u}}f(0,0)_{\max} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{9}$$

  對應的方向為：

  $$\mathbf{u} = \boxed{\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \right)}$$

• 變化最快（減少）的方向：當 $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ 且 $b = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ 時，方向導數為負的最小值（絕對值最大）：

  $$D_{\mathbf{u}}f(0,0)_{\min} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$$

  對應的方向為：

  $$\mathbf{u} = \boxed{\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \right)}$$

綜合以上，變化最劇烈的四個方向向量為：