1. 級數形式為交錯級數 $\sum (-1)^n a_n$，其中 $a_n = \tan\left(n^{-p/2}\right) \ln\left(1 + n^{-2p}\right)$。
2. 絕對收斂判定：我們分析級數 $\sum a_n$ 的收斂性。當 $n \to \infty$ 且 $p>0$ 時，使用極限比較審斂法： $a_n \approx \frac{1}{n^{p/2}} \cdot \frac{1}{n^{2p}} = \frac{1}{n^{5p/2}}$ 由 $p$-級數定理，絕對收斂需要 $\frac{5p}{2} > 1 \implies p > \frac{2}{5}$。
3. 條件收斂判定：條件收斂需要級數收斂但非絕對收斂。 對於交錯級數 $\sum (-1)^n a_n$，若要收斂（由交錯級數審斂法）：
   • $a_n \to 0$ 且遞減，此條件在 $p > 0$ 時皆成立。 因此，條件收斂的區間為 $0 < p \le \frac{2}{5}$。最大的 $p$ 即為 $\frac{2}{5}$。

設一般項為 $a_n = \tan\left(\dfrac{1}{n^{p/2}}\right) \ln\left(1 + \dfrac{1}{n^{2p}}\right)$。為使級數有意義且交錯，需 $p > 0$。

第一步：分析絕對收斂條件

我們考慮級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$。 利用極限比較審斂法，將其與 $p$-級數比較。當 $n \to \infty$：

故：

因為級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{5p/2}}$ 在 $\frac{5p}{2} > 1 \implies p > \frac{2}{5}$ 時收斂。 故當 $p > \frac{2}{5}$ 時，原級數絕對收斂。

第二步：分析條件收斂條件

若級數條件收斂，則需滿足交錯級數收斂，但非絕對收斂：

1. 非絕對收斂 $\implies p \le \frac{2}{5}$。
2. 交錯級數收斂：需 $a_n$ 為單調遞減且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。 當 $p > 0$ 時， $\lim_{n\to\infty} n^{-p/2} = 0 \implies \lim_{n\to\infty} \tan(n^{-p/2}) = 0$。同理， $\lim_{n\to\infty} \ln(1+n^{-2p}) = 0$。故 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。 且在 $p>0$ 時，隨著 $n$ 增加， $n^{-p/2}$ 與 $n^{-2p}$ 均單調遞減趨近於 $0$，其正切與對數複合函數亦為正值且單調遞減，符合交錯級數審斂法（Leibniz’s Rule）。

因此，原級數條件收斂的 $p$ 值範圍為：

故最大之 $p$ 值為 $\boxed{\frac{2}{5}}$。