1. 將餘切函數與餘割函數展開為正弦與餘弦： $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}$
2. 將分子與分母同乘 $\sin x$ 進行化簡。
3. 利用夾擠定理判定 $\lim_{x\to 0} \sin x \sin(1/x) = 0$。
4. 代入極限值求得答案。

原極限式展開：

分子與分母同乘以 $\sin x$：

由於當 $x \to 0$ 時，對任意 $x \neq 0$：

且因為 $\lim_{x\to 0} |\sin x| = 0$，由夾擠定理（Squeeze Theorem）可知：

因此，原極限為：

• 泰勒級數法（推薦）：將 $e^{2x}$ 用麥克勞林公式展開至 $x^3$ 項，可直接求出極限，極具效率。
• 羅必達法則：利用對數性質將指數式轉換為分數形式，連續使用羅必達法則求極限。

泰勒級數法

考慮 $e^u$ 的麥克勞林展開式：

令 $u = 2x$，展開至 $x^3$ 項：

代入原極限括號內：

原極限式可寫為：

利用重要極限公式 $\lim_{t\to 0} (1+kt)^{\frac{1}{t}} = e^k$：

利用對數性質將指數式轉換為分數形式，再使用羅必達法則求極限。

對數羅必達法則

設 $y = (e^{2x} - 2x - 2x^2)^{\frac{1}{x^3}}$，取對數：

當 $x \to 0$ 時，此極限為 $\frac{0}{0}$ 型。利用羅必達法則：

拆分為兩部分：

第一項極限值為 $1$。對第二項使用羅必達法則（仍為 $\frac{0}{0}$ 型）：

故 $\lim_{x\to 0} \ln y = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$，所以：

1. 將級數通項提取 $n^2$ 以及分母的 $n^3$，整理為包含 $k/n$ 形式的黎曼和（Riemann Sum）。
2. 將黎曼和轉換為定積分： $\int_0^1 \frac{x+1}{(x^2+x+1)^{3/2}}\,\mathrm{d}x$
3. 將分子拆分為常數倍的被積項導數，分別以代換法與三角代換法求解積分。

將通項進行分子分母同除以 $n^3$ 整理：

此為定積分的黎曼和表示式：

為求該定積分，我們將分子拆分：

則積分式拆為：

計算 $I_1$： 令 $u = x^2+x+1 \implies \mathrm{d}u = (2x+1)\,\mathrm{d}x$：

計算 $I_2$： 將分母配方：

令 $x + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan\theta \implies \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2\theta\,\mathrm{d}\theta$：

• 當 $x=0 \implies \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$。
• 當 $x=1 \implies \tan\theta = \sqrt{3} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$。

合併結果：