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109 台灣大學微積分(C) 第 9 題

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109學年度 · 109台大微積分C · 第 9 題

題目

Problem

  1. Find the absolute maximum value and absolute minimum value of f(x,y)=x4+y4−4xy+1f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1 on the disk x2+y2≤1x^2+y^2\le 1.

解答

解法一

思路

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閉圓盤上的絕對極值須同時檢查內部臨界點與圓周邊界。邊界以 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx=\cos\theta,y=\sin\theta 參數化最方便。

答題過程

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由第 8 題的偏導方程，圓盤內唯一的臨界點是 (0,0)(0,0)，其函數值為 11，但它是鞍點，不能給出絕對極值。

在邊界 x2+y2=1x^2+y^2=1 上，令 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx=\cos\theta,y=\sin\theta，則

f(θ)= cos⁡4θ+sin⁡4θ−4sin⁡θcos⁡θ+1= 2−12sin⁡22θ−2sin⁡2θ.\begin{align*} f(\theta) =&\,\cos^4\theta+\sin^4\theta-4\sin\theta\cos\theta+1\\[2mm] =&\,2-\frac12\sin^22\theta-2\sin2\theta. \end{align*}

微分得

f′(θ)=−2cos⁡2θ(sin⁡2θ+2),f'(\theta)=-2\cos2\theta\big(\sin2\theta+2\big),

所以只須令 cos⁡2θ=0\cos2\theta=0。當 sin⁡2θ=1\sin2\theta=1 時，f=−12f=-\frac12；當 sin⁡2θ=−1\sin2\theta=-1 時，f=72f=\frac72。

故

絕對最小值為 −12，絕對最大值為 72.\boxed{\text{絕對最小值為 }-\frac12\text{，絕對最大值為 }\frac72}.