微積分福音

109 台灣大學微積分(C) 第 7 題

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109學年度 · 109台大微積分C · 第 7 題

題目

Problem

Evaluate $\displaystyle\iint_R \cos\left(\frac{y-x}{y+x}\right)\,dA$ where $R$ is the trapezoidal region with vertices $(1,0)$ , $(2,0)$ , $(0,2)$ and $(0,1)$ .

解答

解法一

思路

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被積函數只含 $(y-x)/(y+x)$ 。令 $u=x+y$ 、 $v=x-y$ ，可把梯形化為簡單的 $1\le u\le2$ 、 $-u\le v\le u$ 區域。

答題過程

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令

u=x+y,\qquad v=x-y.

則 $x=\frac{u+v}{2}$ 、 $y=\frac{u-v}{2}$ ，且

\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac12.

四個頂點變為 $(u,v)=(1,1),(2,2),(2,-2),(1,-1)$ ，所以

\begin{align*} \iint_R\cos\left(\frac{y-x}{y+x}\right)\,\mathrm{d}A =&\,\frac12\int_1^2\int_{-u}^{u}\cos\left(-\frac vu\right)\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[2mm] =&\,\int_1^2u\sin1\,\mathrm{d}u\\[2mm] =&\,\boxed{\frac32\sin1}. \end{align*}