微積分福音

109 台灣大學微積分(C) 第 6 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

109學年度 · 109台大微積分C · 第 6 題

題目

Problem

Let the region $R$ be enclosed by the curves $y=x^2$ and $y=2-x^2$ . Find the arc length of the region $R$ .

解答

解法一

思路

展開

區域邊界由兩條拋物線的弧段組成，兩段在 $[-1,1]$ 上的弧長相同；算出其中一段後乘以二。

答題過程

展開

兩曲線在 $x=\pm1$ 相交。對 $y=x^2$ ，弧長為

\int_{-1}^1\sqrt{1+(2x)^2}\,\mathrm{d}x.

而 $y=2-x^2$ 的導數是 $-2x$ ，故有相同弧長。因此區域邊界總長為

L=4\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x.

令 $u=2x$ ，使用標準積分公式可得

\begin{align*} L =&\,2\int_0^2\sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u\\[2mm] =&\,\boxed{2\sqrt5+\ln(2+\sqrt5)}. \end{align*}