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109 台灣大學微積分(C) 第 10 題

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109學年度 · 109台大微積分C · 第 10 題

題目

Problem

  1. Solve the differential equation xy′=y+x2sin⁡xxy'=y+x^2\sin x with y(π)=2πy(\pi)=2\pi.

解答

解法一

思路

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先化為一階線性微分方程。積分因子為 1/x1/x，乘上後左側正好是 (y/x)′(y/x)'。

答題過程

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原式可寫為

y′−1xy=xsin⁡x.y'-\frac1xy=x\sin x.

在初始點附近 x>0x>0，積分因子可取

μ(x)=e∫−1/x dx=1x.\mu(x)=e^{\int-1/x\,\mathrm{d}x}=\frac1x.

因此

(yx)′=sin⁡x.\left(\frac yx\right)'=\sin x.

積分後

yx=−cos⁡x+C,\frac yx=-\cos x+C,

即 y=x(−cos⁡x+C)y=x(-\cos x+C)。由 y(π)=2πy(\pi)=2\pi 得 C=1C=1，所以

y=x(1−cos⁡x).\boxed{y=x(1-\cos x)}.