題目

Problem

PART 2:

Find the equation of the curve on the $xy$ -plane that passes through $(3,1)$ such that for any point $P$ on the curve, the midpoint of the tangent line at $P$ that lies in the first quadrant is $P$ itself.

解答

展開

把曲線上一點設為 $(a,f(a))$ 。切線與兩座標軸的截距可由切線式求出；「第一象限內的線段中點就是該點」會給出一階微分方程。

展開

設 $P=(a,f(a))$ ，其切線為

y-f(a)=f'(a)(x-a).

令 $x=0$ 、 $y=0$ ，分別得到兩軸截距

f(a)-af'(a), \qquad a-\frac{f(a)}{f'(a)}.

故第一象限中切線段的中點為

\left( \frac12\left(a-\frac{f(a)}{f'(a)}\right), \frac12\big(f(a)-af'(a)\big) \right).

依題意它等於 $(a,f(a))$ 。由任一座標分量均可化為

af'(a)+f(a)=0.

因此曲線滿足

x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy)=0.

所以 $xy=C$ 。又曲線通過 $(3,1)$ ，故 $C=3$ ，所求為

\boxed{y=\frac3x}\qquad (x>0).