題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

(a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{[x]} = \underline{\quad(1)\quad}$ , where $[x]$ is the greatest integer which is less than or equal to $x$ .

(b) $\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos ax)^{\frac{1}{1-\cos bx}} = \underline{\quad(2)\quad}$ , where $a,b$ are constants and $ab\ne 0$ .

(c) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2n\sqrt{1-\left(\frac{i}{2n}\right)^2}} = \underline{\quad(3)\quad}$ .

解答

展開

展開

(a) 因為 $x\to\infty$ 時底數 $1+\frac3x>1$ ，而且

x-1<[x]\le x,

所以

\left(1+\frac3x\right)^{x-1} <\left(1+\frac3x\right)^{[x]} \le\left(1+\frac3x\right)^x.

右端的極限為 $e^3$ ，左端只是再乘上趨近 $1$ 的因子 $\left(1+\frac3x\right)^{-1}$ ，極限也為 $e^3$ 。由夾擠定理，

\boxed{(1)=e^3}.

(b) 設原極限為 $L$ 。利用 $\ln L$ 先處理指數，

\begin{align*} \ln L =&\,\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos ax)}{1-\cos bx}\\[4mm] \overset{L}{=}&\,\lim_{x\to0}\frac{-a\tan ax}{b\sin bx}\\[4mm] =&\,-\frac{a^2}{b^2}. \end{align*}

因此

\boxed{(2)=\exp\left(-\frac{a^2}{b^2}\right)}.

(c) 先把根號內的 $2n$ 提出：

\begin{align*} \sum_{i=1}^n\frac{1}{2n\sqrt{1-\left(\frac{i}{2n}\right)^2}} =&\,\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{4-\left(\frac in\right)^2}}. \end{align*}

這是區間 $[0,1]$ 上的黎曼和，故極限為

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x =\left.\sin^{-1}\left(\frac x2\right)\right|_0^1 =\frac\pi6.

故

\boxed{(3)=\frac\pi6}.