題目

A=(-1,0),\ B=(0,1),\ C=(2,2)

. Use the method of least squares to find a line

y=mx+b

that best fits

A,\ B,\ C

m=?

b=?

解答

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最小平方法直線的斜率是資料的「共同變化量」除以 $x$ 的變化量；截距再令直線通過平均點 $(\bar x,\bar y)$ 。

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三點的平均為

\bar x=\frac{-1+0+2}{3}=\frac13, \qquad \bar y=\frac{0+1+2}{3}=\frac43.

因此

\begin{align*} m =&\,\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum(x_i-\bar x)^2}\\[4mm] =&\,\frac{\frac43+0+\frac53} {\frac{16}{9}+\frac19+\frac{25}{9}} =\frac{9}{14}. \end{align*}

再由 $\bar y=m\bar x+b$ ，

b=\frac43-\frac{9}{14}\cdot\frac13=\frac{47}{42}.

故最佳擬合直線為

\boxed{y=\frac9{14}x+\frac{47}{42}}.