題目

Problem

1 Lemniscate $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ At the point $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$ $\dfrac{dy}{dx}=?$

解答

展開

這是一條隱函數曲線。先對等式兩邊求導，把含有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的項目集中，最後再代入指定點。

展開

對 $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ 求導：

\begin{align*} 2(x^2+y^2)\Big(2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Big) =&\,2x-2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\\[4mm] (x^2+y^2)\Big(x+y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Big) =&\,x-y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. \end{align*}

因此

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{x-x(x^2+y^2)-y}{y(x^2+y^2)+y}.

在題給點， $x^2+y^2=\frac12$ ，故

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt6}{8}-\frac{\sqrt2}{4}} {\frac{\sqrt2}{8}+\frac{\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt3-2}{3}. \end{align*}

故所求斜率為 $\boxed{\frac{\sqrt3-2}{3}}$ 。