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108 台灣大學微積分(B) 第 15 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 15 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. ∫01∫02∫y/21yzcos⁡(x3−1) dx dy dz=(20)‾\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{y/2}^{1} yz\cos(x^3-1)\,dx\,dy\,dz=\underline{\quad(20)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

先積掉獨立的 zz，再改寫投影區域，讓 x2 dxx^2\,\mathrm{d}x 與餘弦的內函數配對。

答題過程

展開

先積掉 zz，可把原積分化為

12∫02∫y/21ycos⁡(x3−1) dx dy.\frac12\int_0^2\int_{y/2}^1y\cos(x^3-1)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

再交換 x,yx,y 的積分次序。投影區域可寫成 0≤x≤10\le x\le1、0≤y≤2x0\le y\le2x，所以

∫01∫02∫y/21yzcos⁡(x3−1) dx dy dz= 12∫01∫02xycos⁡(x3−1) dy dx= ∫01x2cos⁡(x3−1) dx= sin⁡13.\begin{align*} \int_0^1\int_0^2\int_{y/2}^1yz\cos(x^3-1)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\,\frac12\int_0^1\int_0^{2x}y\cos(x^3-1)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_0^1x^2\cos(x^3-1)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{\sin1}{3}}. \end{align*}