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108 台灣大學微積分(B) 第 1 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 1 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. Compute the following limits

  • lim⁡x→0(cos⁡x+12x2)1x4=(1)‾\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\cos x+\frac{1}{2}x^2\right)^{\frac{1}{x^4}}=\underline{\quad(1)\quad}.
  • lim⁡x→03x−sin⁡3x5x−tan⁡5x=(2)‾\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x-\sin 3x}{5x-\tan 5x}=\underline{\quad(2)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

先把兩個未定式展開至第一個不會抵消的項，再讀出極限值。

答題過程

展開

利用泰勒展開：

cos⁡x+x22=1+x424+o(x4),\cos x+\frac{x^2}{2}=1+\frac{x^4}{24}+o(x^4),

故第一個極限為 e1/24\boxed{e^{1/24}}。

又

3x−sin⁡3x=92x3+o(x3),5x−tan⁡5x=−1256x3+o(x3).3x-\sin3x=\frac92x^3+o(x^3),\qquad 5x-\tan5x=-\frac{125}{6}x^3+o(x^3).

所以第二個極限為 −27125\boxed{-\frac{27}{125}}。