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107 台灣大學微積分(C) 第 3 題

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107學年度 · 107台大微積分C · 第 3 題

題目

3. Cardioid x=2sin⁡θ−sin⁡2θ, y=2cos⁡θ−cos⁡2θx=2\sin\theta-\sin2\theta,\ y=2\cos\theta-\cos2\theta. Find its total length.

解答

解法一

思路

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參數曲線弧長使用 (x′)2+(y′)2\sqrt{(x')^2+(y')^2}。先化簡速度，確認在 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi 上走完一圈後積分。

答題過程

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微分得

x′=2cos⁡θ−2cos⁡2θ,y′=−2sin⁡θ+2sin⁡2θ.x'=2\cos\theta-2\cos2\theta,\qquad y'=-2\sin\theta+2\sin2\theta.

因此

(x′)2+(y′)2= 4[(cos⁡θ−cos⁡2θ)2+(sin⁡2θ−sin⁡θ)2]= 8(1−cos⁡θ)=16sin⁡2θ2.\begin{align*} (x')^2+(y')^2 =&\,4\Big[(\cos\theta-\cos2\theta)^2+(\sin2\theta-\sin\theta)^2\Big]\\[4mm] =&\,8(1-\cos\theta)=16\sin^2\frac\theta2. \end{align*}

在 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi 上，sin⁡θ2≥0\sin\frac\theta2\ge0，故弧長為

L=∫02π4sin⁡θ2 dθ=16.L=\int_0^{2\pi}4\sin\frac\theta2\,\mathrm{d}\theta =\boxed{16}.