題目

Problem

Part II Fill in the blanks

If $y=y(x)$ satisfies the differential equation $x^2y'+3xy=2\ln x$ for $x>0$ with $y(1)=2$ , then $y(x)=\underline{\quad(13)\quad}$ .

解答

展開

先除以 $x^2$ 化成一階線性微分方程；積分因子是 $x^3$ ，乘上後左側正好成為一個乘積的導數。

展開

因 $x>0$ ，原式可寫成

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac3x y=\frac{2\ln x}{x^2}.

積分因子為

\exp\left(\int\frac3x\,\mathrm{d}x\right)=x^3.

故

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3y)=2x\ln x.

積分後得到

x^3y=x^2\ln x-\frac{x^2}{2}+C,

即

y=\frac{\ln x-\frac12}{x}+\frac{C}{x^3}.

由 $y(1)=2$ 得 $-\frac12+C=2$ ，所以 $C=\frac52$ 。因此

\boxed{y(x)=\frac{\ln x-\frac12}{x}+\frac{5}{2x^3}}.