題目 Problem ∫0∞exp(−2x2) dx=?\int_0^\infty \exp(-2x^2)\,\mathrm{d}x=?∫0∞exp(−2x2)dx=? (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 將半軸高斯積分平方，轉為平面上的二重積分，再用極座標計算。 答題過程 展開 設 I=∫0∞e−2x2 dxI=\int_0^\infty e^{-2x^2}\,\mathrm{d}xI=∫0∞e−2x2dx。則 I2= ∫0∞∫0∞e−2(x2+y2) dx dy= ∫0π/2∫0∞e−2r2r dr dθ= π2⋅14=π8.\begin{align*} I^2 =&\,\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-2(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ =&\,\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-2r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\ =&\,\frac\pi2\cdot\frac14=\frac\pi8. \end{align*}I2===∫0∞∫0∞e−2(x2+y2)dxdy∫0π/2∫0∞e−2r2rdrdθ2π⋅41=8π. 因 I>0I>0I>0，答案為 π22\boxed{\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}}22π。
