題目 Problem ∫01[∫y1sinx2 dx]dy=?\int_0^1\left[\int_y^1\sin x^2\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y=?∫01[∫y1sinx2dx]dy=? (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 原區域為 0≤y≤x≤10\le y\le x\le10≤y≤x≤1；交換次序後先對 yyy 積分，可避開 sinx2\sin x^2sinx2 沒有初等原函數的困難。 答題過程 展開 ∫01[∫y1sinx2 dx]dy=∫01∫0xsinx2 dy dx.\int_0^1\left[\int_y^1\sin x^2\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^1\int_0^x\sin x^2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.∫01[∫y1sinx2dx]dy=∫01∫0xsinx2dydx. 所以 ∫01xsinx2 dx= 12∫01sinu du= 1−cos12,\begin{align*} &\,\int_0^1x\sin x^2\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac12\int_0^1\sin u\,\mathrm{d}u \\ =&\,\boxed{\frac{1-\cos1}{2}}, \end{align*}==∫01xsinx2dx21∫01sinudu21−cos1, 其中使用 u=x2u=x^2u=x2。
