題目 Problem ∫0π(cos2x+sec2x) dx=?\int_0^\pi(\cos^2x+\sec^2x)\,\mathrm{d}x=?∫0π(cos2x+sec2x)dx=? (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 sec2x\sec^2xsec2x 在 x=π/2x=\pi/2x=π/2 無定義，必須把定積分視為兩段瑕積分；不可直接套用原函數跨越奇點。 答題過程 展開 在 π/2\pi/2π/2 附近，sec2x≥0\sec^2x\ge0sec2x≥0 且具有垂直漸近線。左半段已經發散： limb→(π/2)−∫0bsec2x dx=limb→(π/2)−tanb=+∞.\lim_{b\to(\pi/2)^-}\int_0^b\sec^2x\,\mathrm{d}x =\lim_{b\to(\pi/2)^-}\tan b=+\infty.b→(π/2)−lim∫0bsec2xdx=b→(π/2)−limtanb=+∞. 加入有界的 cos2x\cos^2xcos2x 不會改變此結論，因此原積分發散，答案為 divergent\boxed{\text{divergent}}divergent。
