題目

Problem

Part I Multiple Choice

Consider the improper integral $I_p=\int_0^\infty \dfrac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x$ , where $p$ is a positive number.

(A) $I_p$ is convergent if $p>1$ and divergent if $0<p\le 1$ .

(B) $I_p$ is convergent if $0<p<1$ and divergent if $p\ge 1$ .

(D) $I_p$ is divergent for all $p>0$ .

解答

展開

展開

將積分拆開：

I_p=\int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x+\int_1^\infty x^{-p}\,\mathrm{d}x.

在 $x=0$ 附近，第一段為 $p$ 型瑕積分，只有 $p<1$ 時收斂；在無窮遠處，第二段只有 $p>1$ 時收斂。當 $p=1$ 時，兩段皆含調和型發散。

沒有正數 $p$ 可以同時滿足 $p<1$ 與 $p>1$ ，故 $I_p$ 對所有 $p>0$ 都發散，答案為 $\boxed{\text{D}}$ 。