題目

Problem

Part III Solve the following problems

f(t)=e^{\pi t^2}+\iint_{x^2+y^2\le t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\,\mathrm{d}A.

Find $f(t)$ .

解答

展開

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在極座標 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 下， $\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ ，所以

f(t)=e^{\pi t^2}+2\pi\int_0^t rf(r)\,\mathrm{d}r.

對 $t$ 微分（ $f$ 連續，故可用微積分基本定理），得

f'(t)=2\pi t e^{\pi t^2}+2\pi t f(t).

移項後是線性方程

f'(t)-2\pi t f(t)=2\pi t e^{\pi t^2}.

其積分因子為 $e^{-\pi t^2}$ 。令 $g(t)=e^{-\pi t^2}f(t)$ ，則

g'(t)=2\pi t.

又原式代 $t=0$ 得 $f(0)=1$ ，故 $g(0)=1$ ，因此

g(t)=1+\pi t^2.

所以

\boxed{f(t)=(1+\pi t^2)e^{\pi t^2}}.