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106 台灣大學微積分(B) 第 18 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 18 題

題目

Problem

Part III Solve the following problems

  1. Use the Taylor series method to find the limit lim⁡x→01−x4−e2x4(1−cos⁡x)sin⁡2x\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1-x^4}-e^{2x^4}}{(1-\cos x)\sin^2 x}.

解答

解法一

思路

展開
  • 分子與分母皆在 x=0x=0 附近從四次項開始，保留到四次項即可決定極限。
  • 分別使用 (1+u)1/2(1+u)^{1/2}、eue^u、cos⁡x\cos x 與 sin⁡x\sin x 的泰勒展開。

答題過程

展開

先展開分子：

1−x4= 1−12x4+O(x8),e2x4= 1+2x4+O(x8).\begin{align*} \sqrt{1-x^4} =&\,1-\frac12x^4+O(x^8), \\ e^{2x^4} =&\,1+2x^4+O(x^8). \end{align*}

所以

1−x4−e2x4=−52x4+O(x8).\sqrt{1-x^4}-e^{2x^4}=-\frac52x^4+O(x^8).

而

1−cos⁡x=12x2+O(x4),sin⁡2x=x2+O(x4),1-\cos x=\frac12x^2+O(x^4), \qquad \sin^2x=x^2+O(x^4),

故分母為

(1−cos⁡x)sin⁡2x=12x4+O(x6).(1-\cos x)\sin^2x=\frac12x^4+O(x^6).

因此極限為四次項係數之比：

−5.\boxed{-5}.