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106 台灣大學微積分(B) 第 15 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

106學年度 · 106台大微積分B · 第 15 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

  1. The length of the curve C:(x(t),y(t))=(t3+1,32t2−1)C:(x(t),y(t))=\left(t^3+1,\dfrac{3}{2}t^2-1\right), 0≤t≤10\le t\le 1 is (15)‾\underline{\quad(15)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 參數曲線弧長使用速度 (x′)2+(y′)2\sqrt{(x')^2+(y')^2} 積分。
  • 本題速度可提出 3t3t，再以 u=1+t2u=1+t^2 作簡單代換。

答題過程

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先微分參數式：

dxdt=3t2,dydt=3t.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3t^2, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3t.

因 0≤t≤10\le t\le1，有 3t≥03t\ge0，曲線長度為

L= ∫01(3t2)2+(3t)2 dt= ∫013t1+t2 dt.\begin{align*} L =&\,\int_0^1\sqrt{(3t^2)^2+(3t)^2}\,\mathrm{d}t \\ =&\,\int_0^1 3t\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t. \end{align*}

令 u=1+t2u=1+t^2，則 du=2t dt\mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t，上下限為 1,21,2。因此

L= 32∫12u1/2 du= u3/2∣12= 22−1.\begin{align*} L =&\,\frac32\int_1^2u^{1/2}\,\mathrm{d}u \\ =&\,\left.u^{3/2}\right|_1^2 \\ =&\,\boxed{2\sqrt2-1}. \end{align*}