CalcGospel 微積分福音
返回

106 台灣大學微積分(B) 第 14 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

106學年度 · 106台大微積分B · 第 14 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

  1. Evaluate the definite integral ∫1/21sin⁡−1xx2 dx=(14)‾\int_{1/2}^1\dfrac{\sin^{-1}x}{x^2}\,\mathrm{d}x=\underline{\quad(14)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  • 反三角函數乘上 x−2x^{-2}，適合分部積分，讓反三角函數微分成根式。
  • 剩下的根式積分以 x=sin⁡θx=\sin\theta 代換處理。

答題過程

展開

取

u=sin⁡−1x,dv=x−2 dx.u=\sin^{-1}x, \qquad \mathrm{d}v=x^{-2}\,\mathrm{d}x.

則 du=11−x2 dx\mathrm{d}u=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x、v=−1/xv=-1/x。分部積分給出

∫1/21sin⁡−1xx2 dx= [−sin⁡−1xx]1/21+∫1/211x1−x2 dx= −π2+π3+∫1/211x1−x2 dx.\begin{align*} \int_{1/2}^1\frac{\sin^{-1}x}{x^2}\,\mathrm{d}x =&\,\left[-\frac{\sin^{-1}x}{x}\right]_{1/2}^1 +\int_{1/2}^1\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x \\ =&\,-\frac\pi2+\frac\pi3 +\int_{1/2}^1\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

令 x=sin⁡θx=\sin\theta，上下限依序為 π/6\pi/6、π/2\pi/2，故

∫1/211x1−x2 dx= ∫π/6π/2csc⁡θ dθ= [ln⁡tan⁡θ2]π/6π/2= ln⁡(2+3).\begin{align*} \int_{1/2}^1\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\int_{\pi/6}^{\pi/2}\csc\theta\,\mathrm{d}\theta \\ =&\,\left[\ln\tan\frac\theta2\right]_{\pi/6}^{\pi/2} \\ =&\,\ln(2+\sqrt3). \end{align*}

因此原積分為

ln⁡(2+3)−π6.\boxed{\ln(2+\sqrt3)-\frac\pi6}.